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专题检测（二十三） 第21题解答题“函数、导数与不等式”专练

1．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x 3

＋x 2

，x <1，

a ln x ，x ≥1.

(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2

＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2

3

.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝3

.

(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，23上单调递增．

因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝4

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，f (0)＝0，

所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；

当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.

2．(2017·山西四校联考)已知函数f (x )＝1

x

－a ln x (a ∈R)．

(1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的单调递减区间； (2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，h (x )＝1

x

＋3ln x －2x (x >0)，

h ′(x )＝－1

x 2＋3x －2＝－2x 2

－3x ＋1

x

2