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第五章 向量代数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

一、内容要点

⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 。

⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关,称为自由向量﹚.

⑵向量的坐标表示:a (ax,ay,az),其中ax、ay、az为向量a在三个坐标

轴上的投影.以M0(x0,y0,z0)为起点、M0(x,y,z)为终点的向量

M0M (x x0,y y0,z z0).

⑶向量的分解表示a axi ayj azk,其 中i (1,0,0),k (0,0,1)j (0,1,0),⒉向量的模与方向余弦

设a (ax,ay,az)则向量的模a

cos

axa

,cos

aya

,cos

aza

ax ay az

2

2

2

方向余弦为

.其中 、 、 分别为a与x轴、y轴、z

轴正向的夹角﹙称为a的方向角﹚, cos2 cos2 cos2 1

⒊向量的加法与数乘运算

向量的加法有平行四边形法则和三角形法则. 运算的代数表示:设a (ax,ay,az),b (bx,by,bz),

则 (1)a b (ax bx,ay by,az bz); (2) a ( ax, ay, az). 线性运算律为

a b b a, (a b) c a (b c), (a b) a b, ( a) ( )a

基本定理:设a 0,则

ab R,使得 b a ; 或 设a (ax,ay,az) 0 b (bx,by,bz),则a

\\b

bxax

byay

bzaz

.

利用数乘 ,任何向量a可表示为a aea,其中ea表示与a同方向的单位向量.

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