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圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分不是一个规则图形,不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解,下面谈谈求解阴影部分面积的方法。

例1 如图1,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连结AC,求图中阴影部分的面积。

分析:图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的

和,而△ABC不是Rt△,所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形,

连接OC、OB,则S△OCB=S△ACB。

则阴影部分面积为扇形AOB面积。

解 连接OB、OC,如图2因为BC∥OA

所以△ABC与△OBC在BC上的高相等

所以S ABC S OBC , 所以S阴 S扇形

又∵AB是⊙O的切线

所以OB⊥AB,而OB=2,OA=4

所以∠AOB=60°,

由BC∥OA得∠OBC=60°

所以△OBC为等边三角形,∠BOC=60°

S扇形B C60 × 3602 O 23

例2 如图3,扇形AOB的圆心角为直角,若OA=4,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。

分析 图3中阴影部分面积为:

以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积;

而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。

解 ∵OA=4cm,∠O=90°,OB=4cm

∴S扇形AOB 90 43602 4 (cm) 2

又AB 42(cm)

( 22)

22 所以S半圆 4 (cm) 2

22 而S AOB 8(cm),所以S弓形 (4 8)cm

2 故S阴 S半圆 S弓形 4 (4 8) 8cm

例3 如图4,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是多少?

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